清華新聞網(wǎng)1月26日電 在過去幾十年里，隨著數(shù)據(jù)收集與處理能力的顯著提高，各行各業(yè)都在面對由海量高維數(shù)據(jù)帶來的機遇與挑戰(zhàn)。然而，在處理這些高維數(shù)據(jù)時，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析方法往往過分依賴于特征間的線性相關(guān)性。盡管這些線性方法能夠簡化數(shù)據(jù)的表示形式，但它們在捕捉數(shù)據(jù)中的復(fù)雜模式方面卻顯得力不從心。一個典型的例子是，高維數(shù)據(jù)往往聚集在低維流形附近，而這些特征無法有效地通過低維線性結(jié)構(gòu)來表達。
針對這一問題，流形學(xué)習技術(shù)成為一種具有前景的解決方案。然而，現(xiàn)有的流形學(xué)習方法，如基于流形結(jié)構(gòu)的嵌入和去噪算法，因缺乏深入的幾何理解和堅實的理論基礎(chǔ)而受到限制。此外，在處理極大規(guī)模數(shù)據(jù)集時，這些技術(shù)常面臨著計算效率和精度的雙重挑戰(zhàn)，特別是在生物信息學(xué)、金融分析和社會網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)等應(yīng)用領(lǐng)域中。
為了深入研究高維數(shù)據(jù)中的非線性結(jié)構(gòu)，新加坡國立大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)據(jù)科學(xué)系的研究團隊和清華丘成桐數(shù)學(xué)中心團隊提出了一種新算法。該算法基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計分布和隱含幾何結(jié)構(gòu)，旨在從高維環(huán)境空間中的離散樣本點恢復(fù)出光滑的低維流形結(jié)構(gòu)。研究人員將高維空間中的觀測樣本視為未知流形的隱藏信息與環(huán)境噪聲的混合體。他們通過利用數(shù)據(jù)中的幾何平滑特征及統(tǒng)計收斂性質(zhì)，估計樣本點到流形的距離，并據(jù)此給出未知流形的估計及樣本點到其上的投影。這種對流形的估計被證明具有給定維數(shù)的光滑流形特性，且其估計誤差和收斂速度均優(yōu)于現(xiàn)有方法。此外，為了應(yīng)對數(shù)據(jù)維度和數(shù)據(jù)量的計算挑戰(zhàn)，研究人員將此方法與深層生成對抗網(wǎng)絡(luò)（GANs）結(jié)合（如圖1(c) 所示），通過循環(huán)生成對抗網(wǎng)絡(luò)學(xué)習高低維空間之間的連續(xù)映射，來估計隱藏流形的指對數(shù)映射，并利用這些映射實現(xiàn)對隱藏流形的初步估計。團隊已將該方法應(yīng)用于歐式空間中的幾何模型、卡拉比-丘流形，以及一系列圖像數(shù)據(jù)（圖1 (a, d)），并正在嘗試處理分析更高維度的前沿實驗數(shù)據(jù)，例如單細胞RNA序列數(shù)據(jù)。這項工作預(yù)計將極大地改變我們處理高維復(fù)雜數(shù)據(jù)集域的效率，并提供潛在的新的視角。
利用該研究中提出的算法擬合潛在流形的示意圖。現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)通常可被表示為高維向量, 如（a）中的圖像數(shù)據(jù)。通常情況下，這些向量被認為分布在一個低維的未知流形附近（如b中黑色虛線所示）。利用（c）中展示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架可以有效地學(xué)習這個潛在流形，并得到類似于（b）中紅色曲線的估計值。這一方法有助于在高維環(huán)境空間內(nèi)進行如（d）中所示的非線性插值和去噪，從而顯著改善數(shù)據(jù)處理和分析。
該研究中的部分成果近日以“利用循環(huán)生成對抗網(wǎng)絡(luò)進行流形擬合（Manifold Fitting with CycleGAN）”為題，被《美國國家科學(xué)院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America）期刊接收。該研究的完成單位是新加坡國立大學(xué)和清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心。該論文的第一作者為新加坡國立大學(xué)教授姚志剛，通訊作者為姚志剛與清華丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授丘成桐，論文作者貢獻相當。論文部分研究結(jié)果來自于姚志剛在哈佛數(shù)學(xué)和應(yīng)用中心訪問期間完成的工作。研究得到了新加坡教育部研究基金的支持。
論文鏈接：https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2311436121
供稿：數(shù)學(xué)科學(xué)中心
編輯：李若夢
審核：段穎
