清華新聞網(wǎng)5月28日電 非正截面曲率且體積有限的完備非緊流形的幾何與拓撲是一個活躍的研究課題。上世紀七八十年代，帕特里克·埃伯萊因（Patrick Eberlein）、米哈伊爾·格羅莫夫（Mikhael Gromov,1993年沃爾夫獎得主）以及格雷戈里·馬古利斯（Gregory Margulis,1978年菲爾茲獎、2005年沃爾夫獎得主）等著名數(shù)學家在這一領域取得了一系列重要研究成果。比如，由他們的工作可以得知，對于一個體積有限的完備非緊黎曼流形，如果曲率介于2個負常數(shù)之間，那么它只有有限個末端（end），并且每個末端的基本群都是多項式增長群。
埃伯萊因研究了一類更一般的流形，在一篇1980年發(fā)表于《數(shù)學年刊》（Annals of Mathematics）的論文中，他證明了，若體積有限的完備非緊黎曼流形的曲率非正且有界，如果它的萬有覆疊空間是可視流形（visibility manifold），那么它只有有限個末端。類比于曲率為負的情形。近40年以來，數(shù)學家們猜測，埃伯萊因研究的此類非緊流形末端的基本群也是多項式增長群。這個猜想的本質(zhì)難點在于怎么控制拋物等距在無窮遠處的漸近行為。
5月27日，清華大學丘成桐數(shù)學科學中心/數(shù)學科學系教授吳云輝和首都師范大學交叉科學研究院博士后研究員季然合作的論文“非正曲率且有限體積的非緊流形的末端研究”（On ends of finite-volume noncompact manifolds of nonpositive curvature）在線發(fā)表于《數(shù)學新進展》（Inventiones Mathematicae）。在這篇論文中，吳云輝和合作者克服了一系列困難，解決了上述猜想。
吳云輝和合作者首先受到數(shù)學家安德斯·卡爾松（Anders Karlsson）和馬古利斯于1999年在遍歷論領域相關工作的啟發(fā)，從而證明了此類流形末端的基本群是次指數(shù)增長的；又借助CAT（0）幾何的工具成功地控制了拋物等距的漸近行為；最后，他們提出了無窮遠處版本的Margulis引理，并利用它完全解決了這一公開長達近40年的猜想。該工作是近期非正曲率流形幾何與拓撲課題的一個突破性進展。
論文鏈接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01266-0
供稿：數(shù)學中心
編輯：李華山
審核：郭玲
