清華新聞網(wǎng)6月12日電 近日，清華大學丘成桐數(shù)學科學中心助理教授高鴻灝與合作者在切觸幾何與辛幾何領(lǐng)域取得新突破，團隊在拉格朗日填充的分類問題上取得具有重要影響的原創(chuàng)性成果。
恰當拉格朗日填充的分類是低維辛幾何中的重要問題之一。1996年，雅科夫·埃利亞什伯格（Yakov Eliashberg）與列昂尼德·波爾捷羅維奇（ Leonid Polterovich）曾給出了勒讓德平凡結(jié)的完備分類，是此類問題的首個結(jié)果。此后，數(shù)學家們在填充分類問題上取得了一些進展，構(gòu)造了諸多拉格朗日填充的例子。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)對于一個固定的勒讓德鏈環(huán)所得到的拉格朗日填充的個數(shù)總是有限多個，于是猜測任意勒讓德鏈環(huán)所界定的拉格朗日填充的個數(shù)總是有限的。2022年，羅杰·卡薩爾斯和高鴻灝合作證否了這一猜想。他們結(jié)合了微局部層、叢代數(shù)、勒讓德環(huán)路等多種技術(shù)手段，證明了大量勒讓德鏈環(huán)都可以界定無窮多個拉格朗日填充，同時揭示了拉格朗日填充與叢代數(shù)種子之間存在潛在的聯(lián)系。這一成果以“無窮多個拉格朗日填充”（Infinitely many Lagrangian fillings）為題發(fā)表于《數(shù)學年刊》（Annals of Mathematics）2022第一期。
而在最新進展中，研究團隊進一步證實了拉格朗日填充與叢代數(shù)種子之間潛在的對應(yīng)關(guān)系。固定一個勒讓德鏈環(huán)，如果其不變量組成的模空間具有叢代數(shù)結(jié)構(gòu)，根據(jù)辛場論的構(gòu)造，則該鏈環(huán)所界定的一個恰當拉格朗日填充可以誘導一個叢代數(shù)種子。團隊證明了以上對應(yīng)中滿射的部分，即每一個叢代數(shù)種子均由一個恰當拉格朗日填充誘導所得。
實現(xiàn)這一結(jié)果的基本思路是將代數(shù)上的叢變異構(gòu)造對應(yīng)至幾何上的拉格朗日手術(shù)。其中，代數(shù)操作可以任意進行，而不加限制地重復幾何操作則會產(chǎn)生浸入點，從而被迫停止。文章引入箭圖上的勢能函數(shù)，記錄幾何操作過程中產(chǎn)生的交點，從而在浸入點出現(xiàn)前，通過適當?shù)臐h密爾頓同痕變換，避免浸入點的產(chǎn)生，由此可以實現(xiàn)代數(shù)操作與幾何操作的對應(yīng)。這一結(jié)果完成了拉格朗日填充的完備分類的關(guān)鍵一步，對于理解低維辛流形的幾何性質(zhì)有著重要的意義。
拉格朗日填充（圖左）與其對應(yīng)的叢代數(shù)種子（圖右）
相關(guān)研究成果以“每個叢代數(shù)種子對應(yīng)一個拉格朗日填充”（A Lagrangian filling for every cluster seed）為題發(fā)表于5月出版的《數(shù)學新進展》（Inventiones mathematicae）上。該論文由高鴻灝與美國加州大學戴維斯分校教授羅杰·卡薩爾斯（Roger Casals）共同合作完成。
論文鏈接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01268-y
供稿：數(shù)學科學中心
編輯：李華山
審核：郭玲
