清華新聞網(wǎng)9月11日電 在1950年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，克勞德·謝瓦萊（Claude Chevalley）提出了著名的謝瓦萊限制定理，即半單李代數(shù)上的共軛不變函數(shù)同構(gòu)于嘉當(dāng)子代數(shù)上的外爾群不變函數(shù)。該定理于1965年由羅伯特·施坦貝格（Robert Steinberg）完整證明，并推廣至半單代數(shù)群。此后，數(shù)學(xué)家們?cè)谥x瓦萊限制定理的高維推廣上取得了許多進(jìn)展：顏維諒（Gan Wee Liang）-維克多·金茨堡（Victor Ginzburg）、馬蒂亞斯·多莫科什（Matyas Domokos）、弗朗西斯科·瓦卡里諾（Francesco Vaccarino）解決了一般線性李代數(shù)的情形；陳朝銑（Chen Tsao-Hsien）-吳寶珠（Ngo Bao Chau）解決了辛李代數(shù)的情形；宋雷-夏曉朋-許金興解決了正交李代數(shù)的情形。
近日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授李鵬輝與美國加州大學(xué)伯克利分校教授戴維·納德勒（David Nadler）以及麻省理工學(xué)院教授惲之瑋合作，在幾何表示論與幾何朗蘭茲領(lǐng)域取得新進(jìn)展。團(tuán)隊(duì)在對(duì)仿射赫克范疇與交換堆的研究中取得重要的、原創(chuàng)性成果，并以“通過朗蘭茲對(duì)偶研究交換堆上的函數(shù)（Functions on the commuting stack via Langlands duality）”為題發(fā)表于9月出版的《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）上。
李鵬輝與合作者一致性地證明了所有約化李代數(shù)和約化代數(shù)群的謝瓦萊定理的二維推廣。該問題解決的關(guān)鍵在于如何計(jì)算交換堆上的全局函數(shù)。團(tuán)隊(duì)創(chuàng)造性地運(yùn)用朗蘭茲對(duì)偶將其轉(zhuǎn)換成關(guān)于仿射赫克范疇余中心里的惠特克層的計(jì)算。由此，團(tuán)隊(duì)定義了該余中心的一個(gè)半正交分解，并使用特征層理論計(jì)算了每個(gè)分次塊，最終得到了描述惠特克層的自同態(tài)代數(shù)，即交換堆上全局函數(shù)的公式。
在證明過程中，團(tuán)隊(duì)運(yùn)用范疇化收縮原理、拋物特征層理論、何-聶函數(shù)的梯度流、廣義斯普林格理論等多種理論，這些方法對(duì)于任意型的約化李代數(shù)、代數(shù)群均成立。謝瓦萊定理二維推廣的證明解決了數(shù)十年來關(guān)于交換堆的即約性猜想，對(duì)理解低維流形的朗蘭茲對(duì)偶有著重要意義。
SL2時(shí)的何-聶函數(shù)梯度流
論文由李鵬輝、戴維·納德勒（David Nadler）、惲之瑋共同合作完成。研究得到中國國家自然科學(xué)基金、美國國家科學(xué)基金、西蒙斯學(xué)者獎(jiǎng)（Simons Investigatorship）與帕卡德獎(jiǎng)（Packard fellowship）的支持。
論文鏈接：
https://annals.math.princeton.edu/2024/200-2/p05
供稿：數(shù)學(xué)科學(xué)中心
題圖設(shè)計(jì)：梁晨
編輯：李華山
審核：郭玲
