清華新聞網(wǎng)11月14日電 近年來，全息原理與拓?fù)淞孔訄?chǎng)論的相關(guān)研究持續(xù)深入，特別是在理解量子場(chǎng)論與量子引力之間的聯(lián)系方面取得了諸多突破性進(jìn)展。全息原理的核心在于將高維度的引力理論與低維度的量子場(chǎng)論聯(lián)系起來，而拓?fù)淞孔訄?chǎng)論（TQFT）在這一過程中發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用。拓?fù)淞孔訄?chǎng)論決定了低維理論的對(duì)稱性，這種對(duì)稱性既包含常見的群對(duì)稱，也包含群對(duì)稱的推廣——即范疇對(duì)稱性的廣義（不可逆）對(duì)稱性，其結(jié)構(gòu)能夠與高維的拓?fù)淞孔訄?chǎng)論聯(lián)系起來。這就是近年來興起并獲得廣泛關(guān)注的“拓?fù)淙⒃怼薄?/p>
11月5日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心孔令欣教授與合作者在《物理評(píng)論X》（Physical Review X）第14卷第4期發(fā)表了題為“從D+1維拓?fù)淞孔訄?chǎng)論到D維共形場(chǎng)論：全息張量網(wǎng)絡(luò)與（二維）共形場(chǎng)論精確離散化”（CFTD from TQFTD+1 via Holographic Tensor Network, and PrecisionDiscretisationof CFT2）的論文，在量子場(chǎng)論和全息原理交叉領(lǐng)域取得重要進(jìn)展。研究團(tuán)隊(duì)創(chuàng)新地提出一種利用拓?fù)淞孔訄?chǎng)論搜索乃至構(gòu)建共形場(chǎng)論（CFT）的精確離散化版本的方法，為深入理解CFT與TQFT之間的聯(lián)系以及更為廣泛的量子引力問題開辟了嶄新的視角。
重整化群（RG）在理論物理中起著關(guān)鍵作用，它描述了系統(tǒng)在不同尺度下相似的物理行為。研究團(tuán)隊(duì)結(jié)合了廣義不可逆對(duì)稱性與重整化群這兩個(gè)核心概念，通過改變拓?fù)鋱?chǎng)論的剖分結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了保護(hù)（廣義）對(duì)稱性的重整化流，深入探索如何從D+1維TQFT中獲取D維CFT的路徑積分表示。其中，團(tuán)隊(duì)聚焦于由3維Turaev-Viro拓?fù)鋱?chǎng)論構(gòu)造的重整化群不動(dòng)點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化成拓?fù)淞孔訄?chǎng)論的邊界條件，進(jìn)而重構(gòu)出2維有理共形場(chǎng)論的精確路徑積分。此項(xiàng)工作首次實(shí)現(xiàn)將離散拓?fù)鋱?chǎng)論的狀態(tài)和連續(xù)場(chǎng)論的路徑積分聯(lián)系起來，并給出了連續(xù)場(chǎng)論的離散化描述。
圖1.Turaev-Viro拓?fù)鋱?chǎng)論構(gòu)造的顯式離散重整化群算符，從左至右展示了重整化過程
研究團(tuán)隊(duì)首先基于3維Turaev-ViroTQFT相關(guān)的Frobenius代數(shù)，成功構(gòu)建出RG算符的拓?fù)涮卣鲬B(tài)，通過這些特征態(tài)復(fù)現(xiàn)了廣義對(duì)稱低維TQFT的配分函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)非特征解在RG算符的作用下，可以流到特征解。利用CFT處于拓?fù)涮卣鲬B(tài)之間相變點(diǎn)的這一特性，開發(fā)出數(shù)值算法，用以尋找與CFT對(duì)應(yīng)的RG算符特征態(tài)，重構(gòu)出一系列已知2維格點(diǎn)模型的相變點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)可能存在的新型2維相變點(diǎn)。通過對(duì)這些非平凡不動(dòng)點(diǎn)的深入研究，團(tuán)隊(duì)推測(cè)出能夠復(fù)現(xiàn)2維有理共形場(chǎng)論（RCFT）路徑積分的無限維特征解，切實(shí)實(shí)現(xiàn)了離散Turaev-Viro狀態(tài)與連續(xù)路徑積分之間的精確對(duì)應(yīng)。該套方法被推廣到3維CFT和4維拓?fù)銻G算符，并在3維Ising模型中展示。最終，研究團(tuán)隊(duì)證明所構(gòu)造的RG算符形成了一個(gè)精確的全息張量網(wǎng)絡(luò)，可將其理解為對(duì)（歐幾里得）AdSD+1空間的離散化，且能精確描述CFT。數(shù)值證據(jù)表明，當(dāng)D=2時(shí)的體-邊傳播子與AdS3/CFT2中的傳播子一致。
圖2.全息張量網(wǎng)絡(luò)示意圖
這一系列成果不僅為理解CFT和TQFT之間的關(guān)系構(gòu)建起統(tǒng)一而具體的框架體系，還在全息原理、量子引力與場(chǎng)論離散化之間構(gòu)筑起全新的橋梁。研究揭示了通過拓?fù)鋱?chǎng)論和全息張量網(wǎng)絡(luò)途徑構(gòu)造CFT的可能性，為復(fù)雜量子系統(tǒng)的研究提供了重要的新工具。值得一提的是，研究著重強(qiáng)調(diào)了RG不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)鍵作用，通過這些不動(dòng)點(diǎn)，不同尺度下的物理行為得以實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一描述，為探索CFT的結(jié)構(gòu)提供了豐富多樣的數(shù)學(xué)工具。未來，孔令欣團(tuán)隊(duì)將持續(xù)深入探尋其與AdS/CFT對(duì)應(yīng)的精確聯(lián)系，進(jìn)一步推動(dòng)量子物理理論研究的前沿進(jìn)展。
清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授孔令欣（Ling-Yan Hung）為論文獨(dú)立通訊作者。孔令欣2022年加入清華大學(xué)，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿⒗碚摗⒘孔右Γ约巴負(fù)鋱?chǎng)論、拓?fù)湮飸B(tài)的全息原理。華南理工大學(xué)副教授陳霖及復(fù)旦大學(xué)博士生季愷昕為共同第一作者，共同作者還包括山東大學(xué)本科生張皓琛，美國(guó)康奈爾大學(xué)博士生王若水，復(fù)旦大學(xué)博士生曾祥東、沈策。
論文鏈接：
https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.14.041033
供稿：數(shù)學(xué)科學(xué)中心
題圖設(shè)計(jì)：梁晨
編輯：李華山
審核：郭玲
