馬輝：“中外結(jié)合”帶你領(lǐng)略線性代數(shù)之美
通訊員 趙曉光
【教師簡(jiǎn)介】馬輝，清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系教授。2000年于北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院獲得理學(xué)博士學(xué)位，先后在清華大學(xué)、美國(guó)麻州州立大學(xué)Amherst分校作博士后研究。2004年6月起在清華任教。研究方向?yàn)槲⒎謳缀巍Ｗ?011年參加數(shù)學(xué)系與電子系的課程改革和共建項(xiàng)目，連續(xù)5個(gè)學(xué)期擔(dān)任電子系大一學(xué)生的線性代數(shù)教學(xué)工作。
【課程簡(jiǎn)介】線性代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，在物理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域具有廣泛和深刻的應(yīng)用，同時(shí)線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課。作為清華大學(xué)非數(shù)學(xué)理工科各專業(yè)學(xué)生重要的必修課程，課程介紹求解線性方程組、矩陣?yán)碚摗⑾蛄靠臻g和線性變換等線性代數(shù)的基本概念和基本理論，強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)的理論與應(yīng)用的結(jié)合。通過(guò)對(duì)課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和抽象思維能力，使學(xué)生具備線性代數(shù)的基本理論知識(shí)，熟練掌握求解線性方程組和矩陣運(yùn)算、矩陣分解的基本方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和提高奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
2014年9月，清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系馬輝教授團(tuán)隊(duì)的“線性代數(shù)”課程在學(xué)堂在線上線，這是國(guó)內(nèi)最早上線的面向理工科學(xué)生的線性代數(shù)公共課課程之一。課程上線以來(lái)累計(jì)開設(shè)了9個(gè)學(xué)期的課程，總計(jì)超過(guò)8.5萬(wàn)人選課，除本校外，另有12所高校及機(jī)構(gòu)參與使用。
選課學(xué)生中有中學(xué)生、大一新生、準(zhǔn)備考研的在校生，也有工作多年想再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的社會(huì)上的學(xué)習(xí)者。因此，授課內(nèi)容需要兼顧多層次、多年齡段學(xué)習(xí)者，教學(xué)視頻要盡可能給出定理證明的細(xì)節(jié)和不同難度的例題。在教學(xué)中，馬輝根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，采用手寫板、錄屏軟件等還原線下黑板教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，達(dá)到最好的教學(xué)效果，以求讓學(xué)生在真學(xué)會(huì)該課程的同時(shí)，領(lǐng)略線性代數(shù)與其他學(xué)科不一樣的魅力。
美國(guó)MIT教材與傳統(tǒng)教材結(jié)合教學(xué)
說(shuō)起線性代數(shù)這門在線課程內(nèi)容的選取，馬輝介紹到，線性代數(shù)的傳統(tǒng)中文教材，是由行列式的概念和計(jì)算為起點(diǎn)，而在線課程則是以美國(guó)MIT當(dāng)前使用的吉爾伯特·斯特朗（Gilbert Strang）教授編著的英文教材等國(guó)內(nèi)外流行教材為基礎(chǔ)，以求解線性方程組為中心主線，來(lái)介紹求解線性方程組、矩陣?yán)碚摗⑾蛄靠臻g和線性變換、行列式、特征值特征向量、對(duì)稱矩陣、相似矩陣、奇異值分解、復(fù)矩陣等線性代數(shù)的基本概念和基本理論等內(nèi)容，同時(shí)，強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)在工程學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用等。
具體而言，線性代數(shù)在線課程內(nèi)容與之前傳統(tǒng)教材相比選材有很大不同。不同之處主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：第一，沒(méi)有涉及多項(xiàng)式理論（多項(xiàng)式的次數(shù)，帶余除法，最大公因子，互素，不可約多項(xiàng)式，唯一分解定理，整系數(shù)的多項(xiàng)式 ）；第二，行列式的概念被安排在向量空間、線性方程組、正交性之后，并且沒(méi)有強(qiáng)調(diào)行列式的計(jì)算技巧；第三，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的內(nèi)容被壓縮，不講極小多項(xiàng)式和零化理想等內(nèi)容。
相應(yīng)的，在線課程專門介紹了矩陣的LU分解、QR分解、奇異值分解，也特別強(qiáng)調(diào)了投影矩陣、最小二乘法、矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在求解常微分方程組中的應(yīng)用等，這是傳統(tǒng)教材中大多不強(qiáng)調(diào)但在工科學(xué)生后期專業(yè)課學(xué)習(xí)中反復(fù)應(yīng)用的內(nèi)容。
梳理知識(shí)點(diǎn)將線下課程化整為零
同時(shí)，與傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)課程相比，這門課程的另一個(gè)重要特點(diǎn)是它不是“課堂搬家”。由于不受普通課堂一節(jié)課45分鐘時(shí)長(zhǎng)限制，在重新梳理知識(shí)點(diǎn)，整合教學(xué)內(nèi)容后，原來(lái)的課程及內(nèi)容被重新整合為34節(jié)內(nèi)容，對(duì)應(yīng)每段的視頻至多7-9分鐘，每節(jié)內(nèi)容集中講解一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。
在學(xué)生觀看學(xué)習(xí)時(shí)，可以根據(jù)各自知識(shí)體系和時(shí)間，靈活選取要看的內(nèi)容，也可以多次觀看教學(xué)視頻段。這沖破了傳統(tǒng)教學(xué)的局限，也提高了傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)方式的效率。除此之外，每節(jié)課程安排了20道左右的作業(yè)題目，幫助學(xué)生鞏固每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。
馬輝表示，因?yàn)樵撜n程不僅面向清華大學(xué)的學(xué)生，還面向校外的學(xué)生，甚至還有可能是社會(huì)上的在職學(xué)習(xí)者，所以在課程內(nèi)容難度上，相比學(xué)校的教學(xué)內(nèi)容的會(huì)適當(dāng)調(diào)整難度。
用手寫板等盡可能還原線下黑板教學(xué)
“線性代數(shù)”在線下教學(xué)過(guò)程中，有一些學(xué)院反映教學(xué)內(nèi)容偏難，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的考核中有的學(xué)生成績(jī)并不理想。對(duì)于課程該如何去學(xué)，馬輝認(rèn)為，除去通過(guò)在線課程觀看學(xué)習(xí)，仍需要學(xué)習(xí)這門課程的同學(xué)多花功夫。
在線性代數(shù)這門課程的線上授課方式上，考慮到數(shù)學(xué)課用黑板教學(xué)可以展示逐步推理的過(guò)程，在授課中，主體部分采用事先準(zhǔn)備好的PPT，利用手寫板和錄屏軟件實(shí)時(shí)講解，兼具黑板講課展示推理過(guò)程和多媒體講課的優(yōu)點(diǎn)，比如在普通課堂沒(méi)有時(shí)間展示或不容易展示的數(shù)學(xué)家的簡(jiǎn)介、線性代數(shù)應(yīng)用實(shí)例以及利用數(shù)學(xué)軟件畫的圖像等就可以在本課程中展示。
“線性代數(shù)要在一點(diǎn)點(diǎn)推導(dǎo)的過(guò)程中，帶動(dòng)同學(xué)一塊去思考，我們覺(jué)得線性代數(shù)授課的方式，用類似于黑板的這種教學(xué)方式會(huì)更有效一些。”馬輝說(shuō)，線性代數(shù)和其它數(shù)學(xué)學(xué)科一樣，當(dāng)學(xué)生們逐步熟悉了它的語(yǔ)言之后，就能領(lǐng)略其中的美妙。
增添應(yīng)用內(nèi)容并與專業(yè)課程進(jìn)行銜接
對(duì)于以后在線課程建設(shè)的問(wèn)題，馬輝表示，目前這門慕課的考試還主要是選擇題，將來(lái)可能會(huì)增加主觀題，并且與線下考試結(jié)合。而對(duì)于目前課程題庫(kù)量小的問(wèn)題，他也提出了設(shè)想，以后除了增加題目數(shù)量外，也會(huì)相應(yīng)提高題目的難度。
“線上課程介紹的內(nèi)容主要是理論方面的知識(shí)，比傳統(tǒng)的教材多了一些應(yīng)用的章節(jié)。”馬輝提到，與傳統(tǒng)授課內(nèi)容相比，目前在線課程授課內(nèi)容中有線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號(hào)處理、圖像壓縮等方面的應(yīng)用。馬輝坦言，對(duì)于課程內(nèi)容的調(diào)整，是希望讓學(xué)生能夠體會(huì)線性代數(shù)在其它領(lǐng)域中如何應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)思維思考。
馬輝表示，希望學(xué)生在后期的專業(yè)學(xué)習(xí)中當(dāng)需要用到線性代數(shù)方面的知識(shí)，能馬上聯(lián)想到之前學(xué)到的課程內(nèi)容，而不是學(xué)習(xí)完該課程后就丟棄到一邊。在線性代數(shù)的后期課程建設(shè)中，團(tuán)隊(duì)會(huì)盡可能增加更多應(yīng)用方面的內(nèi)容，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和理解線性代數(shù)的理論及應(yīng)用，體會(huì)線性代數(shù)的美妙。
（清華新聞網(wǎng)2月27日電）
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